Numerele irationale ceea ce sunt și ceea ce sunt utilizate

Ce este un număr irațional? De ce sunt numite? În cazul în care acestea sunt utilizate și ce reprezintă? Puțini poate, fără ezitare, să răspundă la aceste întrebări. Dar, de fapt, răspunsurile sunt destul de simplu, deși nu toate sunt necesare și în situații foarte rare,

Esența și desemnarea

Numerele irationale sunt infinite zecimale neperiodice. Necesitatea de a introduce acest concept provine din faptul că, în scopul de a aborda noile provocări emergente au fost insuficiente conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întregi, naturale și raționale. De exemplu, pentru a calcula o valoare pătrat este 2, este necesar să se utilizeze o fracțiune non-periodice zecimale infinite. În plus, multe ecuații simple au, de asemenea, nici o soluție, fără introducerea conceptului de numere iraționale.

Acest set este notat ca I. Și, după cum a devenit clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, din care numărătorul este întreg, iar numitorul - un număr natural.

Pentru prima dată într-un fel sau altul cu acest fenomen cu care se confruntă matematicieni indieni în secolul VII î.Hr., când a fost descoperit că rădăcinile pătrate ale anumitor cantități nu pot fi identificate în mod clar. O primă dovadă a existenței unor astfel de numere este creditat pitagoreice Hippasos, care a făcut în studiul unui triunghi dreptunghic isoscel. O contribuție serioasă la studiul acestui set au adus chiar și unii oameni de știință care au trăit înainte de Hristos. Introducerea conceptului de numere iraționale a condus la o revizuire a sistemului matematic existent, care este motivul pentru care sunt atât de importante.

Originea numelui

În cazul în care raportul în limba latină - este „împușcat“, „atitudine“, prefixul „ir“
atașat la cuvântul opus. Astfel, numele setului acestor numere indică faptul că acestea nu pot fi corelate cu un număr întreg sau fracționar, au un scaun. Acest lucru rezultă din natura lor.

În clasamentul general,

Numerele irationale, împreună cu rațională se referă la un grup de real sau virtual, care, la rândul său, aparțin complexului. Subseturile nu, cu toate acestea, distincția între algebrice și natură transcendentală, care vor fi discutate mai jos.

Deoarece numerele iraționale - este o parte dintr-un set de reale, apoi se aplică pentru a le toate proprietățile lor, care sunt studiate în aritmetică (numite, de asemenea, legile de bază algebrice).

a + b = b + a (comutativitatea);

(A + b) + c = a + (b + c) (asociativitatea);

a + (-a) = 0 (existența aditivului inverse);

ab = ba (legea comutativ);

(Ab) c = a (bc) (distributivitatii);

a (b + c) = ab + ac (legea distributiv);

o x 1 / a = 1 (numărul invers de existență);

Comparația este, de asemenea, făcută în conformitate cu legile și principiile generale:

Dacă a> b și b> c, atunci a> c (raportul tranzitivitate) și. t. d.

Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind operațiile aritmetice de bază. Orice reguli speciale în acest sens.

În plus, numerele iraționale acoperite de axioma lui Arhimede. Se precizează că pentru oricare două valori ale a și b este adevărat că, prin luarea de un termen ca un număr suficient de ori, este posibil să se bată b.

utilizarea

În ciuda faptului că în viața reală nu au de multe ori pentru a face cu ei, numere iraționale nu dau seama. Ele sunt foarte multe, dar ele sunt practic invizibile. Suntem înconjurați de numere iraționale. Exemplele, familiare tuturor, - numărul pi, egal cu 3.1415926. sau e, care este, în esență, baza logaritmului natural, 2.718281828. În algebră, trigonometrie și geometria trebuie să le folosească în mod constant. Apropo, valoarea bine-cunoscut al „secțiunea de aur“, adică raportul dintre cât de mult a ridicat la scăzut și vice-versa, și

Aceasta se referă la acest set. Mai puțin bine-cunoscut „argint“ - prea.

Pe linia de număr, acestea sunt foarte apropiate, astfel încât între oricare două cantități, acoperite de un set de rațional, irațional apar în mod necesar.

Până în prezent, există o mulțime de probleme nerezolvate în legătură cu acest set. Există criterii precum iraționalitatea măsurii și normalitatea numărului. Matematicienii continuă să exploreze cele mai semnificative exemple pentru apartenența lor la un grup sau altul. De exemplu, se presupune că e - numărul normală, adică, probabilitatea de apariție în înregistrarea sa de cifre diferite sunt aceleași ... În ceea ce privește pi, apoi relativ lung în curs de investigare. Măsura iraționalitate, de asemenea, numita valoare, indică cât de bine un anumit număr poate fi aproximată prin numere raționale.

Algebrice și transcendental

După cum sa menționat deja, numere iraționale în mod condiționat împărțit în algebrice și transcendente. Convențional, pentru că, strict vorbind, clasificarea este folosită pentru a împărți pluralitatea C.

Sub această denumire se ascunde numerele complexe, care includ reale sau reale.

Toate celelalte numere reale, care nu îndeplinesc această condiție sunt numite transcendental. Această specie și sunt cele mai bine cunoscute și deja menționate exemple - pi număr și baza de logaritm natural e.

Interesant, nici una, nici cea de a doua au fost crescute inițial de matematicieni ca atare, iraționalitatea și transcendența lor a fost dovedită prin mulți ani după descoperirea lor. Pentru dovada pi au fost furnizate în 1882 și simplificată, în 1894, care a pus capăt dezbaterii cu privire la problema Cuadratura cercului, care a durat timp de 2500 de ani. Acesta nu este încă pe deplin înțeles, astfel încât matematicieni moderni au de lucru. Apropo, primul calcul suficient de precisă a acestei valori a avut Arhimede. Înaintea lui, toate calculele au fost prea aproximative.

Pentru e (numărul lui Euler, sau Napier), dovada transcendenței lui a fost găsit în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Printre alte exemple - valorile sinus, cosinus și tangenta pentru orice valori algebrice nenuli.