dreptul de distribuție (Gauss) Normal
Definiția. Distribuția normală se numește o variabilă aleatoare continuă care descrie densitatea de probabilitate
Distribuția normală este, de asemenea, numită legea lui Gauss.
Distribuția normală este esențială pentru teoria probabilității. Acest lucru se datorează faptului că această lege se manifestă în toate cazurile în care variabila aleatoare este rezultatul mai multor factori diferiți. Pentru distribuția normală se apropie de toate celelalte legi de distribuție.
Se poate arăta cu ușurință că parametrii și. aparținând densității de distribuție, respectiv, sunt deviația medie și standard a variabilei aleatoare X.
Găsim funcția F (x) de distribuție.
parcelă Densitatea unei curbe de distribuție normală se numește o curbă normală sau Gauss.
Curba normală are următoarele proprietăți:
1) Funcția este definită pe întreaga axă.
2) Atunci când funcția de distribuție a x ia numai valori pozitive.
3) axa x este asimptota orizontală a graficului densității de probabilitate, ca sub o creștere nerestricționată a valorii absolute a argumentului x. valoarea funcției se apropie de zero.
4) Să ne găsiți extremum funcției.
pentru că când y „> 0 pentru x
5) Funcția este relativ simetrică față de linia x = a. deoarece diferență
(X - a) este o parte a funcției distribuției densității în pătrat.
6) Pentru a găsi punctele de inflexiune ale graficului găsi derivata a doua a funcției densității.
Când x = m + s, și x = m - s, derivata a doua este zero, iar când trece prin aceste puncte schimbă semnul, adică la aceste puncte funcția are o inflexiune.
La aceste puncte valoarea funcției.
Se trasează funcția de densitate.
Graficele pentru m = 0, și trei valori posibile ale abaterii standard s = 1, s = 2 și s = 7. După cum se poate observa, cu valori crescătoare a graficului Deviația standard devine flata, iar valoarea maximă este scăzută ..
În cazul în care un> 0, parcela se va muta într-o direcție pozitivă, dacă este bine <0 – в отрицательном.
Când a = 0 și s = 1 se numește curba normalizat. Ecuația curbei normalizate:
Pentru concizie, spune NE X se supune N (m, s), adică, X
N (m, s). A parametrilor m și s sunt aceleași cu caracteristicile de distribuție de bază: mX = m, = s = Sx. În cazul în care NE X
N (0, 1), aceasta se numește valoarea standardizată normală. FR valoarea standardizată normală numită funcția Laplace și notată ca F (x). Acesta poate fi folosit pentru a calcula intervalul de probabilitate pentru N normală de distribuție (m, s):
În rezolvarea problemelor pe o distribuție normală este adesea necesar să se utilizeze valorile tabelare ale funcției Laplace. Deoarece funcția Laplace a relației P (-x) = 1 - F (x). este suficient să aibă o funcție de tabelă valori F (x) numai pentru valori pozitive ale argumentului.
Pentru probabilitatea contactului cu simetric față de intervalul mediu, cu formula: P (| X - mX | Momentele centrale ale distribuției normale satisface relația recursivitate: mn + 2 = (n + 1) s 2 mn. n = 1, 2. Aceasta implică faptul că toate momentele de ordin impar centrale sunt egale cu zero (deoarece m1 = 0). Să ne găsim probabilitatea unui rezultat pozitiv variabilă aleatoare, distribuite conform legii normale, la un anumit interval de timp. pentru că integrala nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare, apoi introduce funcția Se numește funcție integrantă Laplace sau probabilitate. Valorile acestei funcții pentru valori diferite ale x și sunt numărate în tabele speciale. Mai jos este o funcție laplacian grafic. Funcția Laplace are următoarele proprietăți: Funcția Laplace este numit, de asemenea, funcția de eroare, și indică ERF x. Încă folosit funcția normalizat Laplace, care este asociat cu funcția ecuației Laplace: Mai jos este un grafic care arată funcția normalizat Laplace. Atunci când se analizează distribuția normală iese în evidență un caz special de important, cunoscut sub numele de regula trei sigma. Scriem probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare distribuită în mod normal, din valoarea așteptată este mai mică decât un D predeterminat: Dacă luăm D = 3s, vom obține folosind tabele ale funcției Laplace: Ie probabilitatea ca o variabilă aleatoare deviază de la așteptările sale matematice cu o valoare mai mare de trei ori abaterea standard este practic nulă. Această regulă se numește regula de trei sigma. Nu practica se crede că, dacă pentru unii - orice variabilă aleatoare este realizată de trei regula sigma, această variabilă aleatoare are o distribuție normală. Exemplu. Trenul este format din 100 de vagoane. Greutatea fiecărei mașini - o variabilă aleatoare normal distribuită, cu media = 65 și m și abaterea standard s = 0,9 m locomotiva poate transporta greutatea compoziției nu mai mult de 6600 m, altfel este necesar să cârlig locomotiva a doua .. Găsiți probabilitatea ca a doua locomotiva nu este necesară. Al doilea motor nu este necesară dacă abaterea de greutatea așteptată a compoziției (100 x 65 = 6500) nu depășește 6600-6500 = 100 m. pentru că greutatea fiecărei mașini are o distribuție normală, atunci greutatea totală a compoziției va fi de asemenea distribuite normal. Exemplu. O variabilă aleatoare X distribuită în mod normal, este definit de parametrii - a = 2 - așteptarea și s = 1 - deviația standard. Necesar pentru a scrie densitatea de probabilitate și de a construi graficul ei, găsiți probabilitatea ca X are o valoare în intervalul (1, 3), găsiți probabilitatea ca X se va abate (în valoare absolută) de la speranța de a nu mai mult de 2. Densitatea distribuției este după cum urmează: Găsim probabilitatea unei valori aleatoare care se încadrează în intervalul (1, 3). Ne găsim probabilitatea de deviere accidentală de la valoarea așteptată cu o cantitate mai mare de 2. Același rezultat poate fi obținut cu ajutorul funcției normalizat Laplace. Curs 8 Legea numerelor mari (Secțiunea 2) Teorema limită centrală (formularea generală și formularea pentru variabile aleatoare independente și identic repartizate privat). Legea numerelor mari în formă de Cebîșev. Conceptul de frecvența evenimentului. înțelegerea statistică a probabilității. Legea numerelor mari în formă de Bernoulli. Studiul regularități statistice a relevat faptul că, în anumite condiții comportamentul total al unui număr mare de variabile aleatoare aproape pierde un caracter aleatoriu și devine o logică (cu alte cuvinte, abateri aleatoare de la un comportament mediu se anulează reciproc). În special, în cazul în care efectul suma termenilor individuali este uniform mică, cantitatea de distribuție este aproape de legea normală. Formularea matematică a acestei declarații este dată în teoria grupurilor, numită legea numerelor mari. Legea numerelor mari - principiul general prin care efectul combinat al factorilor accidentali care rezultă, în anumite condiții foarte generale, rezultatul este aproape nu depinde de șansă. Primul exemplu al acestui principiu poate servi drept apariție de convergență de frecvență a unui eveniment aleator cu probabilitatea cu creșterea numărului de teste (adesea utilizate în practică, de exemplu, folosind frecvența de apariție a unei calități respondent în eșantion ca o estimare eșantion probabilități corespunzătoare). Esența legii numerelor mari este. că un număr mare de experimente independente, frecvența de apariție a unui eveniment apropiat de credibilitatea lui. Central Limit Teorema (CLT) (în formularea AM Liapunov identic repartizate CB). Dacă reciproc independent SW X1. X2. Xn. au aceeași lege de distribuție cu caracteristici numerice finite M [Xi] = m și D [Xi] = s 2. atunci când n ® ¥ distribuție drept CB arbitrar aproape de distribuție N normal (n × m,). Corolar. Dacă în Teorema ST. atunci când n lege ® ¥ distribuție CB Y arbitrar aproape de N distribuție normală (m, s /). Teorema de Moivre-Laplace. Să SW K - numărul de „succese“ în n schema de studii Bernoulli. Apoi, pentru n ® ¥, și o valoare fixă a probabilității de „succes“ într-un test de distribuție a legii p SV K arbitrar aproape de distribuție N normal (n × p,). Corolar. În cazul în care starea teoremei K în loc să ia în considerare NE NE K / n - frecvență „succese“ în n prin încercări Bernoulli, distribuirea sa în Legea nr ® ¥ și o valoare fixă de p devine arbitrar aproape de distribuție N normală (p,). Notă. Să SW K - numărul de „succese“ în n schema de studii Bernoulli. dreptul de distribuție este o lege binom CB. Apoi, pentru n ® ¥ lege binom are două distribuții marginale: Raspredelenie Puassona n (când n ® ¥ și l = n × p = const); n distribuția Gauss N (n × p,) (când n ® ¥ și p = const). Exemplu. „Succesul“ probabilitatea de un studiu numai p = 0,8. Cât de mult ar trebui sa cheltui testarea la o probabilitate de cel puțin 0,9 poate fi de așteptat ca rata observată de „succes“ în schema de studii Bernoulli se abat de la probabilitatea p nu este mai mare de e = 0,01? Decizie. Pentru comparație, vom rezolva problema în două moduri: a) Pe baza celui de al doilea inegalitatea lui Cebîșev, avem: b) Folosind teorema lui de Moivre-Laplace, și observând că dacă Y CB N (m, s), obținem: De aceea :. și anume de aproape patru ori mai puțin. Valoarea astfel obținută este atât de mare încât formula de eroare utilizată poate fi neglijată. Problema 2. Cu fortifierea banda inamic transportate salvă de 100 de bucăți. Atunci când o astfel de ardere armă de la un număr estimat de rezultate este de 2, iar deviația standard a numărului de accesări egal cu 1,5. Găsiți o probabilitate aproximativă, care într-o bandă de fortificații inamice va scădea de la 180 la 220 scoici. Problema 3. atacurile adversarului benzi fortifiere folosind apariția 50 tancuri. Probabilitatea de scoaterea din uz a rezervoarelor în această luptă este de 0,4. Dacă este dezactivată, cu cel puțin 35% din rezervor, inamicul se oprește ofensiva. Pentru a găsi probabilitatea ca inamicul refuză să atace. Următoarele afirmații și teoreme formează baza legilor sub denumirea generală a legii numerelor mari. Prima inegalitate Cebîșev. Dacă X ³ 0 NE are o valoare finită de m = M [X], atunci pentru orice e> 0 este adevărată: Al doilea (principal) inegalitatea lui Cebîșev. Dacă NE are valori finite X m = M [X] și s 2 = D [X], atunci pentru orice e> 0 este adevărată: Sequence este X1. X2. Xn. Se numește convergentă în probabilitate ca n ® ¥ NE X (simbol: atunci când n ® ¥), în cazul în care pentru orice arbitrar mic e> 0 deține. sau, cu alte cuvinte, pentru orice număr arbitrar de mic e> 0 și d> 0 există un număr k, astfel încât pentru orice n> k următoarea condiție: Teorema (legea numerelor mari sub formă de Cebîșev). Dacă reciproc independent SW X1. X2. Xn. au valori finite M [Xi] = mi și D [Xi] = si 2 £ s 2. pentru orice e> 0 următoarele: sau unde n ® ¥. Corolar. În cazul în care starea X1 teorema SV. Xn. au aceeași valoare de M [Xi] = m, atunci pentru orice e> 0 următoarele: sau unde n ® ¥. Teorema (legea numerelor mari sub formă de Bernoulli). Să SW K - numărul de „succese“ în n schema de studii Bernoulli. Apoi, pentru n ® ¥ frecvența de „succes“ converge în probabilitate p, unde p - probabilitatea de „succes“ într-un test, și anume.: când n ® ¥ sau pentru orice e