Dovada unor inegalități - studopediya

Să luăm în considerare o parte din dovezile inegalităților. Metodele de probă sunt după cum urmează:

- inegalitatea exercitată prin transformări bazate pe proprietățile inegalităților și păstrarea echivalenței acestora, reducerea inegalității, care este cunoscut pentru dreptate;

- prin intermediul unor transformări echivalente evidente sau cunoscute pentru a reduce inegalitatea demonstrează inegalitatea;

- combinarea primei și a doua metode, care este transformată în ambele cunoscute și au dovedit inegalitate.

Exemple de aplicații ilustrează aceste metode.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea.

Dovada. De fapt, diferența. Este evident că. Prin urmare. în cazul în care egalitatea este atinsă numai când. Inegalitatea este dovedit.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea.

Dovada. Din moment. . . atunci inegalitatea devine :.

Această inegalitate este cvadratura la echivalentul :. adică, că este evident.

Rețineți că egalitatea este atinsă doar atunci când numărul și au același semn, sau cel puțin unul dintre ei este zero.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea.

Dovada. De fapt ,.

Deci, fie. Inegalitatea este dovedit.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea. în cazul în care.

Dovada. Numărul este numărul mediu și numărul - al mediei geometrice.

Cu alte cuvinte, ne arată că media aritmetică a două numere non-negative, nu sunt mai mici decât media lor geometrică.

Pentru a dovedi acest lucru considerăm diferența.

Prin urmare. . Mai mult decât atât, egalitatea se realizează numai atunci când. care este posibilă doar atunci când. Inegalitatea este dovedit.

Notă. Conceptele de media aritmetică și media geometrică care urmează să fie introduse și numere de acest caz inegalitatea non-negativ :. cu egalitate numai în cazul în care. Inegalitatea este dovedit.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea. și în cazul în care, în plus, egalitatea se realizează numai atunci când.

Dovada. De fapt, numerele sunt pozitive. Prin urmare, media aritmetică a numerelor, și nu mai puțin de media lor geometrică, fie. egalitate numai atunci când. adică, atunci când. din moment ce ambele - pozitiv. Inegalitatea este dovedit.

Exemplu. Să demonstrăm inegalitatea. în cazul în care. . cu egalitate numai în cazul în care.

Dovada. De fapt,

Exemplu. Demonstrați că.

Decizie. Adăugat trei inegalitate bine-cunoscute. . . Noi primim.

Exemplu. Demonstrați că. în cazul în care.

Decizie. Multiplicarea inegalitate. . .

Exemplu. Demonstrați că. în cazul în care.

Decizie. Noi folosim echivalența inegalităților. Inegalitatea este dovedit.

În dovada unor inegalități convenabile de a utiliza valori de date de înlocuire altele.

Exemplu. Demonstrați că. în cazul în care. .

Decizie. Punerea. putem scrie inegalitatea în formă. . echivalent cunoscut.