Dovada inegalității
Dovedi că \ (x> 0 \) inegalitatea \ (1 + 2 \ ln x \ le \).
Se introduce funcția \ (f \ stânga (x \ dreapta) = - 2 \ ln x - 1 \). Punctele critice: \ [f „\ stânga (x \ dreapta) = - 2 \ ln x - 1> \ dreapta) ^ \ prime >> = = 0,> \, \, \, \, \; - 2 >> = 0> \; \; \; \; \; - 2 = 0,> \; \; \; \; \; = 1> \; \; \; \; \; \] Dintre cele trei puncte critice \ (x = -1 \) \ (x = 0 \) \ (x = 1 \) starea \ (x> 0 \) satisface doar ultimul punct \ (x = 1 \). Pentru derivatul ei stanga este negativ, iar dreapta - pozitiv. Prin urmare, în acest moment funcția are un egal minim la \ [f \ stânga (1 \ dreapta) = 1 - 2 \ ln 1 - 1 = 0. \] Astfel, \ (f (x) \ ge 0 \) când \ ( x> 0 \) (și este zero la \ (x = 1 \)). În acest caz, \ [- 2 \ ln x - 1 \ ge 0, \, \, \, \, \; \ Rightarrow \; \ ;. 1 + 2 \ ln x \ le \]
Dovedi că \ (x> 0 \) inegalitatea \ (\ ln x \ le x - 1 \).
Se introduce funcția \ (f \ stânga (x \ dreapta) = \ ln x - x + 1 \). Această funcție este definită cu \ (x> 0 \). derivatul său este egal cu \ [f „\ stânga (x \ dreapta) = \ dreapta) ^ \ prime> = \ frac - 1. \] Când \ (0 1 \) - negativ. Prin urmare, la punctul \ (x = 1 \) Funcția \ (f (x) \) are un maxim egal \ [f \ stânga (1 \ dreapta) = \ ln 1 - 1 + 1 = 0. \] Astfel, la \ (x> 0 \) inegalitatea \ [f \ stânga (x \ dreapta) \ le 0, \, \, \, \, \; \; \, \, \, \; \]
Dovedi inegalitatea \ (\ mare \ frac> \ normalsize \ le \ ln \ mare \ frac \ normalsize \ le \ mare \ frac> \) furnizat \ (0 1 + x \).
Să considerăm funcția \ (f \ stânga (x \ dreapta) = - x - 1 \). Am examinat monotonitatii. Derivatul este scris ca \ [\ stânga (x \ dreapta) = f“- x - 1> \ dreapta) ^ \ prime> = - 1. \] Când \ (x 0 \) - pozitiv (Figura 1). Prin urmare, funcția \ (f (x) \) descrește \ (x \ 0). La punctul \ (x = 0 \), are un maxim. egal \ [f \ left (0 \ dreapta) = - 0 - 1 = 0. \] Prin urmare, funcția \ (f (x) \) este pozitiv pretutindeni, cu excepția la punctul \ (x = 0 \). Rezultatul este o \ [f \ stânga (x \ dreapta)> 0, \, \, \, \, \; - x - 1> 0,> \, \, \, \, \> 1 + x \; \; \ stânga (\ dreapta)> \].
Dovedi că intervalul \ (\ stânga (> \ dreapta) \) inegalitatea \ (\ sin x + \ tan x> 2x \).
Interval \ (\ stânga (> \ dreapta) \) pentru variabila \ (x \) corespunde intervalului \ ((0, 1) \) pentru variabila \ (z \). Este \ variabilă (z \) este pozitiv, adică, Funcția \ (f (x) \), în intervalul \ (\ stânga (> \ dreapta) \) crește monoton.
Deoarece \ [f \ stânga (0 \ dreapta) = \ păcatul 0 + \ tan 0 - 2 \ cdot 0 = 0, \] atunci, în mod evident, în intervalul \ (\ stânga (> \ dreapta) \) funcția \ (f (x) \) este pozitiv. Prin urmare, \ [\ sin x + \ tan x - 2x> 0, \, \, \; 2x, \; \; x \ în \ stânga (> \ dreapta)> \].