Vectori reprezentare grafică a vectorilor de mărimea vectorului, direcția vectorului

Vectorii pot fi reprezentate grafic segmentele dirijate. Lungimea este selectată printr-o anumită scală pentru a indica mărimea vectorului. și lungimea vectorului predstavlyaetnapravlenie direcție. De exemplu, dacă presupunem că 1 cm este de 5 km / h, apoi vântul de nord-est, la o viteză de 15 km / h reprezentată de o lungime segment de linie direcționată de 3 cm, așa cum se arată în Fig.

Vector plan este direcționat segment. Doi vectori sunt egali dacă au odinakovuyuvelichinu și direcția.

Să considerăm un vector trasată de la punctul A la punctul B. Un punct este numit un vector punct de pornire, iar punctul B se numește punctul final. O denumire simbolică pentru acest vector este (citește „vector AB“). Vectori de asemenea notate prin litere aldine, cum ar fi U, V și W. Cei patru vectori din stânga au aceeași lungime și direcție. Prin urmare, ele sunt vetory egale; cu alte cuvinte,

În vectorii context, vom folosi = pentru a indica egalitatea lor.

Lungimea sau valoarea este exprimată ca | |. Pentru a determina dacă vectorii, vom găsi valoarea și direcția lor sunt egale.

EXEMPLUL 1 Vectori u ,, w prezentate în figura de mai jos. Dovedește că u = = w.

Soluția de rezolvare În primul rând, vom găsi lungimea fiecărui vector utilizând formula distanță:
| U | = √ [2 - (-1)] 2 + (4 - 3) 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| | = √ [0 - (3)] 2 + [0 - (-1)] 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| W | = √ (4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √ 1 + 9 = √ 10.
aici
| U | = | = | W |.
Vectorii u ,, și w, după cum se poate observa din figură, se pare să aibă aceeași direcție, dar vom verifica înclinația lor. Dacă liniile pe care sunt amplasate, au aceeași pantă, vectorii au aceeași direcție. Ne așteptăm pante:
Deoarece u ,, și w au aceeași magnitudine și același naprayvlenie,
u = = w.

Rețineți că egalitatea vectorilor necesită doar aceeași dimensiune și aceeași direcție, mai degrabă decât locația într-un singur loc. La cea mai mare cifră - un exemplu de egalitate vectorilor.

Să presupunem că o persoană face 4 pași la est, și apoi 3 pași spre nord. Atunci omul va fi la 5 metri de punctul de plecare în direcția indicată în partea stângă. Vector în unități de lungime 4 și direcția corectă este de 4 trepte, la est și lungimea vectorului de 3 unități direcția în sus este nord 3 pași. Suma acestor doi vectori este vectorul 5 pași ilustrate în mărime și direcție. Suma este numită și rezultanta a doi vectori.

În general, cei doi vectori nenuli u și v poate fi pliat poziționat geometric pornire punct vector v la punctul final al vectorului u și apoi găsirea vetora care are același punct de plecare ca și vectorul u și același punct final al vectorului v, așa cum se arată în figura de mai jos.







Este suma vectorială reprezentat de un segment de linie dirijată din punctul A vectorului u la punctul final C al vectorului v. Astfel, în cazul în care u = v = și, atunci
u + v = + =

Putem descrie, de asemenea, adăugarea de vectori ca co-localizarea punctelor de plecare ale vectorilor, construcția unui paralelogram și găsirea diagonala unui paralelogram. (In figura de mai jos). Acest adaos este denumit uneori regula paralelogramului adăugării vectorului. Vector plus este comutativ. După cum se arată în figură, ambii vectori u + v și v + u reprezentate de același segment direcțional.

În cazul în care cele două forțe F1 și F2 acționează pe un anumit obiect, forța rezultată este suma F1 + F2 din cele două forțe separate.

Exemplul 15. Două forțe în Newtoni și 25 newtoni acționează pe un obiect perpendicular unul pe altul. Găsiți suma lor, sau forță rezultantă și unghiul pe care îl formează cu o forță mai mare.

Desenați o condiție decizie a problemei, în acest caz - un dreptunghi folosind v sau pentru a reprezenta rezultanta. Pentru a găsi valoarea sa, folosind teorema lui Pitagora:
| V | 2 = 15 2 +25 2 unde | v | denotă lungimea sau magnitudine v.
| V | = √ 15 2 + 25 2
| V | ≈ 29,2.
Pentru a găsi direcția, observăm că din moment ce OAB are un unghi drept,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Folosind acest calculator, vom găsi theta, un unghi care este mai mare decât formele de forță cu forța rezultantă:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31 °
Valoarea rezultată este 29,2 și unghiul de 31 °, cu o forță mai mare.

Piloții pot ajusta direcția de zbor a acestora, în cazul în care există un vânt lateral. Vântul și viteza aeronavei poate fi descrisă ca vetory.

Exemplul 3. Viteza și direcția aeronavei. aeronave se deplasează în azimut de 100 ° la o viteză de 190 km / h, în timp ce viteza vântului 48 km / h și azimutul acestuia - 220 °. Găsiți viteza absolută a avionului și direcția de mișcare, ținând seama de vânt.

Soluția de rezolvare În primul rând, fac un desen. Vant este reprezentat de viteza vectorului aeronavei este. Vectorul de viteză care rezultă este v, suma a doi vectori. Unghiul θ între v și se numește unghiul de drift.

Vă rugăm să rețineți că valoarea CC = 100 ° - 40 ° = 60 °. Apoi, valoarea ACB este, de asemenea, egal cu 60 ° (unghiuri parallklogramma opuse sunt egale). Deoarece suma unghiurilor unui paralelogram este egală cu 360 ° și COB OAB și au aceeași dimensiune, fiecare trebuie să fie de 120 °. Conform regulii de cosinusurilor în OAB, avem
| V | 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120 °
| V | 2 = 47.524
| V | = 218
Apoi, | v | egală cu 218 kilometri pe oră. Conform regulii de sinus. în același treugolnike,
48 / sinθ = 218 / sin120 °,
sau
sinθ = 48.sin120 ° / 218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11 °
Apoi, θ = 11 °, la colțul cel mai apropiat întreg. Viteza specifică este de 218 km / h și direcția mișcării sale cu vântul: 100 ° - 11 ° sau 89 °.

Dacă ni se dă un vector w, putem găsi ceilalți doi vectori u și v, din care suma are w. Vectorii u și v sunt numite componentele w, iar procesul de găsire a ei se numește descompunere. sau reprezentare a vectorului componentelor sale vectoriale.

Când vom descompune vectorul, de obicei, suntem în căutarea componente perpendiculare. Foarte des, cu toate acestea, o componentă va fi paralelă cu axa x, u cealaltă este paralelă cu axa y. Prin urmare, ele sunt adesea denumite componentele orizontale și verticale ale vectorului. Cifra din partea de jos a vectorului w = descompus ca suma u = și v =.

Componenta orizontală u și w este componenta verticală - v.

Exemplul 4. Vectorul w are valoarea 130 și încline 40 ° față de orizontală. Lay vector în componente orizontale și verticale.

Soluția de rezolvare În primul rând, vom crea un desen cu vectori orizontale și verticale u și v, a căror sumă este w.

De la ABC, vom găsi | u | și | v |, folosind definițiile sinus și cosinus:
° cos40 = | u | / 130, sau | u | = 130.cos40 ° ≈ 100
° sin40 = | v | / 130 sau | v | = 130.sin40 ° ≈ 84.
Apoi, componenta orizontală este de 100 w și dreapta w componenta verticală este de 84 în sus.