Funcțiile maxime și minime

Un punct este numit un punct de maxim sau o funcție minimă. în cazul în care într-un cartier sau, respectiv, inegalitate. Valorile funcției într-un punct numit mare (sau scăzută) funcția. Maxim și minim o funcție numită funcția extremelor. Valorile argumentul pentru care funcția are o extremă, numite puncte critice ale primului tip.

Pentru a găsi valori extreme ale funcției, este necesar să se găsească derivatul său și-l egalează la zero, pentru a rezolva ecuația. Rădăcinile ecuației, iar punctul în care derivatul nu există, sunt punctele critice ale primului tip.

În cazul în care semnul derivat atunci când trece prin punctul de schimbare de la pozitiv la negativ, adică, punctul de maxim. În cazul în care semnul derivatului în care trece prin variațiile punctului de la minus la plus, că este punctul de minim. În cazul în care semnul nu se schimbă, atunci nu există nici un punct de extremum.

Uneori este mai ușor de a explora punctul critic în semnul celui de al doilea derivat. Dacă punctul critic în care primul derivat este zero. care este punctul de minim. În cazul în care. adică, maxim punctul. În cazul în care. examinează apoi acest punct al primei derivate.

Dacă funcția este setată implicit. apoi, în scopul de a. egalitatea. Aici. și derivați ai funcției. găsit în ipoteza că și nu depind de u. respectiv. Rezolvarea și. Ne găsim puncte critice. Extremum a funcției în punctul critic este semnul celui de al doilea derivat. În cazul în care punctul critic. acesta este punctul maxim. În cazul în care. este un punct de minim.

Exemplul 1. Testul pentru o extremum a funcției.

Soluție: Vom găsi derivat și setați-o egală cu zero. Rădăcinile acestei ecuații. Acestea sunt puncte critice.

În cazul în care trece prin punctul semn derivat nu se schimba, deoarece acest factor este pătrat, iar atunci când trece prin variațiile punctului de semn de la minus la plus. Deci, la punctul de funcție are un minim. Noi găsim valorile extreme ale funcției, și anume minimul funcției.

Exemplul 2. Testul de extremum funcției.

Soluție: Găsim primul derivat și setați-o egală cu zero. Rădăcinile acestei ecuații. . Acestea sunt puncte critice. Găsiți derivata a doua și de a determina semnul derivatei a doua în punctele critice - funcția este un maxim; - funcția are un minim; Funcția are un minim. Se determină valoarea extremă a funcției: - funcția maximă; - minimum de funcții; - un minim de funcții.

Exemplul 3 Testul pentru o extremum a funcției.

Soluție: Găsim primul derivat și echivala-l la zero. Rădăcinile acestei ecuații. Acestea sunt puncte critice. Suntem un al doilea semn derivat și de a determina punctele critice.

La punctul de al doilea derivat - funcția are un maxim. La punctul al doilea derivat. Prin urmare, este imposibil de a judeca extreme. Verifica disponibilitatea extremum a primei derivate. Pentru că atunci când trece prin punctul primului derivat al semnului nu se schimba, atunci nu există nici un punct de extremum.

Se determină valoarea maximă la o funcție punct.

Exemplul 4 Testul pentru extremum funcției.

Soluție: Funcția este definită pe întreaga axă reală. Găsim derivatul. Egalăm derivatul la zero și de a găsi punctul critic. În cazul în care trece prin punctul de modificările derivate semn de la minus la plus, prin urmare, funcția de punct are o valoare minimă.

Echivalând la zero numitorul derivatului, obținem. Prin urmare, vom găsi punctul critic al funcției. în care derivatul nu există. Evident, derivatul punct. și derivatul la punctul. Prin urmare, există un punct maxim al funcției.

Exemplul 5 Testul pentru o extremum a funcției.

Soluție: Funcția definită implicit. Găsiți și. Derivata când. și anume .

Rezolvarea sistemului de ecuații ne găsim critice. Calculăm derivata a doua. Punctul critic. în cazul în care. și. în cazul în care. Astfel, funcția de la un nivel minim, și la un nivel maxim.

Găsiți funcții minime și maxime: