Concepte de bază ale teoriei probabilității

Mulți oameni, atunci când se confruntă cu noțiunea de „teoria probabilităților“, speriat, crezând că este ceva intolerabil, foarte dificil. Dar nu este de fapt atât de tragic. Astăzi ne uităm la conceptele de bază ale teoriei probabilității, să învețe să rezolve problemele prin exemple concrete.

Ce se studiază o ramură a matematicii ca „teoria probabilității“? Acesta ia act de modele de evenimente aleatorii și variabile. Pentru prima dată problema Oamenilor de Stiinta din secolul al XVIII-lea, când a fost studiat jocurile de noroc. Concepte de bază ale teoriei probabilității - eveniment. Este orice fapt care este declarat de experiență sau de observare. Dar ce este experienta? Un alt concept de bază al teoriei probabilității. Aceasta înseamnă că această parte a circumstanțelor care nu sunt create accidental, și cu un scop. În ceea ce privește supravegherea, există cercetătorul însuși nu participă la experiența, ci pur și simplu un martor la aceste evenimente, nu are nici un efect asupra a ceea ce se întâmplă.

Indiferent de eveniment este, care este urmărit sau create în cursul experimentului, acestea sunt afectate de această clasificare. Va oferim orice tip de separat se întâlnesc.

anumit eveniment

Acesta este un fapt la care să facă setul necesar de activități. Pentru a înțelege mai bine esența, este mai bine pentru a da câteva exemple. Acest lucru este subordonat legii si fizica, chimie, economie și matematică superioare. Teoria probabilității include un astfel de concept important ca un eveniment semnificativ. Iată câteva exemple:

• Noi lucrăm și de a primi o remunerație sub formă de salarii.
• Ei bine, a trecut examenele, a trecut un concurs pentru ca aceasta să primească o remunerație sub formă de admitere la o instituție de învățământ.
• Am investit bani în bancă, să-i înapoi, dacă este necesar.

Astfel de evenimente sunt adevărate. Dacă ne-am îndeplinit toate condițiile necesare, asigurați-vă că pentru a obține rezultatul așteptat.

eveniment imposibil

Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilității. Va oferim pentru a merge la clarificările în următoarele tipuri de evenimente - și anume imposibil. Pentru a începe să prevadă regula cea mai importantă - probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Din această formulare nu poate fi derogat în rezolvarea problemelor. Pentru a ilustra exemple de astfel de evenimente:

• Apa este congelată la o temperatură de plus zece (e imposibil).
• Lipsa de energie electrică nu afectează producția (la fel de imposibil ca și în exemplul anterior).

evenimente aleatoare

Prin studierea elementelor de teoria probabilităților, o atenție deosebită trebuie acordată anumit tip de eveniment. Aceștia sunt cei care studiază această știință. Ca urmare a experienței de lucru se poate întâmpla sau nu. În plus, testul de un număr nelimitat de ori mai poate fi efectuată. exemple notabile includ:

• Toss monedei - este o experiență, sau test, pierderea unui vultur - acest eveniment.
• Tragerea mingea din punga orbește - testul, a fost prins bila roșie - acest eveniment și așa mai departe.

Astfel de exemple pot fi un număr nelimitat, dar, în general, trebuie să fie înțelese. Pentru a rezuma și sistematiza cunoștințele dobândite despre evenimentele unui tabel. studii de teoria probabilităților numai acest din urmă tip de toate prezentate.

Teoria probabilităților - știința care studiază posibilitatea pierderii oricărui eveniment. Ca și ceilalți, are niște reguli. Următoarele legi ale teoriei probabilității:

• Convergența secvențelor de variabile aleatoare.
• Legea numerelor mari.

La calcularea posibilității unui complex poate fi folosit evenimente simple, complexe, pentru a obține rezultate mai ușor și mai rapid mod. Trebuie remarcat faptul că legile teoriei probabilității poate fi ușor dovedită cu ajutorul unora dintre teoremele. Vă sugerăm să înceapă să se familiarizeze cu prima lege.

Convergența secvențelor de variabile aleatoare

Rețineți că convergența mai multor tipuri:

• Secvența de variabile aleatoare convergență în probabilitate.
• Aproape imposibil.
• convergență RMS.
• Convergența în distribuție.

Deci, pe zbor, este foarte dificil să se înțeleagă esența. Iată definițiile care vor ajuta să înțeleagă subiectul. Pentru a începe cu primul aspect. Secvența se numește convergență în probabilitate. dacă următoarea condiție: n abordări infinit, numărul căutat de secvență este mai mare decât zero și aproape de unitate.

Du-te la următoarea vizualizare, aproape sigur. Ei spun că secvența converge aproape sigur la o variabilă aleatoare cu n tinde la infinit, și R, tinzând la o valoare apropiată de unitate.

Următorul tip - o convergență RMS. Când se utilizează convergența-learning SC a proceselor aleatoare vectoriale reduce la studiul proceselor aleatoare de coordonate.

A fost ultimul tip, să ne uităm pe scurt și pentru a merge direct la rezolvarea problemelor. Convergența în distribuție are un alt nume - „slab“, apoi explica de ce. slabă convergență - este convergența funcțiilor de distribuție la toate punctele de continuitate a funcției de distribuție limită.

Asigurați-vă că pentru a menține promisiunea: o slabă convergență este diferit de toate cele de mai sus că variabila aleatoare nu este definită pe spațiul de probabilitate. Acest lucru este posibil, deoarece condiția este realizată folosind exclusiv funcții de distribuție.

Legea numerelor mari

ajutor excelent în dovada legii va fi teoreme de teoria probabilităților, cum ar fi:

• inegalitate Cebîșev.
• Teorema lui Cebîșev.
• Teorema Cebîșev generalizate.
• Markov teorema.

Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci problema poate dura mai multe zeci de foi. Avem sarcina principală - este aplicarea teoriei probabilității în practică. Vă oferim chiar acum și fă-o. Dar înainte de a lua în considerare axiomele teoriei probabilității, acestea sunt parteneri-cheie în rezolvarea problemelor.

Din prima, am văzut deja, atunci când vorbim despre eveniment imposibil. Să ne amintim: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Exemplu am dat o foarte vie și memorabilă: zăpada a căzut la o treizeci de grade Celsius a temperaturii aerului.

Al doilea este după cum urmează: un anumit eveniment are loc cu unitatea de probabilitate. Acum vom arăta cum este scris cu ajutorul limbajului matematic: P (B) = 1.

În al treilea rând: Un eveniment aleator poate întâmpla sau nu, dar posibilitatea este întotdeauna variază de la zero la unu. Cat este mai aproape de unitate, cu atât mai multe șanse; dacă valoarea este aproape de zero, probabilitatea este foarte mică. Scriem acest lucru într-un limbaj matematic: 0<Р(С)<1.

Luați în considerare ultima a patra axioma,, adică: suma probabilității de două evenimente este egală cu suma probabilităților lor. Scrie termeni matematici: P (A + B) = P (A) + P (B).

Axiomele teoriei probabilității - este o regulă simplă, care nu va fi greu să-și amintească. Să încercăm să rezolve unele probleme, pe baza cunoștințelor deja dobândite.

bilet de loterie

În primul rând, ia în considerare cel mai simplu exemplu - o loterie. Imaginați-vă că ați cumpărat un bilet de loterie pentru noroc. Care este probabilitatea ca vei câștiga cel puțin douăzeci de ruble? Tirajul total este implicat într-o mie de bilete, dintre care unul are un premiu de cinci sute de ruble, zece sute de ruble, douăzeci și cincizeci de ruble, și o sută - cinci. Sarcina teoriei probabilității bazate pe modul de a găsi o cale de noroc. Acum, împreună vom analiza decizia de mai sus vizualizarea Sarcini.

Dacă notăm cu un premiu de cinci sute de ruble, atunci probabilitatea de A este egal cu 0,001. Cum ajungem? Doar nevoie de numărul de bilete „norocoase“, împărțit la numărul total (în acest caz: 1/1000).

In - un câștig de o sută de ruble, probabilitatea va fi egală cu 0,01. Acum am acționat în același mod ca și ultima acțiune (10/1000)

C - payoff este de douăzeci de ruble. Găsiți probabilitatea, este egal cu 0,05.

Restul biletelor noi nu sunt interesați, ca premiu banii lor este mai mică decât cea specificată în stare. Aplică oa patra axiomă: Probabilitatea de a câștiga cel puțin douăzeci de ruble este P (A) + P (B) + P (C). Litera P denotă probabilitatea de origine a evenimentului, noi, în etapele anterioare le-au găsit deja. Rămâne doar să se stabilească datele necesare, răspunsul obținem 0.061. Acest număr va fi răspunsul la întrebarea de locuri de muncă.

punte de carduri

Probleme pe teoria probabilității, există, de asemenea, mai complexe, de exemplu, să ia următoarea lucrare. Înainte de punte de treizeci și șase de cărți. Sarcina ta - pentru a trage două cărți într-un rând, fără a se amesteca gramada, prima și a doua cărți trebuie să fie ași, costume care nu contează.

Pentru a începe, găsiți probabilitatea ca prima carte este un as, acest lucru se împarte la patru treizeci și șase. Setați-l deoparte. Obținem o a doua carte este un as cu probabilitatea de trei sute treizeci și cincea. Probabilitatea de al doilea eveniment depinde de ce carte am tras prima, ne interesează, era un as sau nu. Din aceasta rezultă că, în cazul depinde de eveniment A.

Următorul pas vom găsi probabilitatea de punere în aplicare simultană, adică, se multiplica A și B. Munca lor este după cum urmează: probabilitatea unui eveniment înmulțită cu probabilitatea condiționată de o alta, vom calcula, presupunând că a avut loc primul eveniment, și anume, primul card am tras un as.

Pentru a deveni totul este clar, da denumirea elementului, cum ar fi probabilitatea condiționată a evenimentului. Acesta este calculat presupunând că evenimentul A întâmplat. Se calculează după cum urmează: P (B / A).

Extindem soluția la problema noastră: P (A * B) = P (A) * P (B / A) sau P (A * B) = P (B) * P (A / B). Probabilitatea este (4/36) * ((3/35) / (4/36) se calculează prin rotunjire la cea mai apropiată sutime Avem: .. * 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09. probabilitatea ca vom scoate doi ași într-un rând este egal cu nouă sutimi. valoarea este foarte mică, rezultă că probabilitatea de apariție a evenimentului este extrem de scăzut.

cameră uitată

Înainte de a vedea o soluție, încercați să rezolve pe cont propriu. Știm că această din urmă cifră poate fi de la zero la nouă, pentru un total de zece valori. Probabilitatea de scor este necesar 1/10.

Carduri cu numere

Înainte de a nouă cărți, fiecare dintre care este scris un număr de unu la nouă, numerele nu sunt repetate. Au pus într-o cutie și se amestecă bine. Ai nevoie pentru a calcula probabilitatea ca

Înainte de a trece la decizia stipulează că m - este numărul de cazuri de succes, și n - este numărul total de opțiuni. Să ne găsim probabilitatea ca numărul este chiar. Nu este greu de calculat că chiar și un număr de patru, si este m nostru, toate cele nouă opțiuni posibile, adică, m = 9. Apoi, probabilitatea este egală cu 0,44 sau 4/9.

Considerăm că al doilea caz, numărul de variante de nouă, și un rezultat de succes nu poate fi deloc, adică, m este zero. Probabilitatea că placa alungită va conține un număr din două cifre, zero.