Chord și arc
Dovedim numărul teorema, stabilirea unei relații între acordurile și arcele lor la aceeași circumferință, sau circumferințe egale.
În acest caz, avem în vedere arc, mai puțin de un semicerc.
Teorema 1. egal cu arc strâns acorduri egale.
Să arc AB este egal cu arcul din Marea Britanie. Trebuie să dovedim că coarda este o coardă AB SC (fig. 314).
Dovada. Alătură-te capetele coardele ale unui cerc cu centrul său - punctul O. triunghi Se obține AOB și CBS sunt egale, deoarece acestea au două părți egale, respectiv (o rază de cerc) și la un unghi egal încheiat între aceste părți (aceste unghiuri sunt egale, ambele arce egale respective centrale ). Prin urmare, AB = SC.
Teorema 2 (invers). acorduri Egale trage împreună arce egale.
Să coarda AB este o coardă IC. Trebuie să dovedim că arc AB este egală cu arc SC (fig. 314).
Dovada. Alăturați-vă capetele corzilor unui cerc cu centrul său - punctul O. Se obține AOB triunghi și CBS, respectiv, sunt pe trei laturi egale. De aceea, unghiuri egale AOB și SOC; dar aceste unghiuri centrale corespunzătoare arcelor AB și CR; egalitatea acestor unghiuri ar trebui să fie arce egale: \ (\ breve = \ breve \).
Teorema 3. Arcul mai mare este contractat și mai coardă.
Să arc AB SK mai arc (Fig. 315).
Trebuie să dovedim că coarda AB mai lung coardă IC.
Dovada. Mutati SC arc circumferențial, astfel încât punctul K este aliniat cu punctul A, în timp ce punctul C preia poziția S „pe arcul AB Au intre punctele B, SC arc va poziționa arc AC“ și SC acorduri coardă va poziționa UA“. Desenați razele punctelor A, B și C“. Picătură de centru O perpendicularele OE și DO corzii AB și AC. " In triunghiul segmentul OFE OE - picior, și segmentul DPOF - ipotenuza, deci A> OE, și, prin urmare, OD> OE.
Să considerăm acum ÖAD triunghiuri și OUA. In aceste triunghiuri ipotenuzei OA general și piciorul piciorului inferior OE OD, apoi prin corolarul piciorului pitagoreic Teorema asupra piciorului AE AD. Dar acestea constituie picioarele coardele jumătate AB și AC „aceasta înseamnă că coardă AB și AC coardele mai lung“. Datorită coardele egale de AC „și Regatul Unit obține
AB> IC.
Teorema 4 (invers). coardă mare și trage un arc mare.
Să coarda și o coardă mare IC.
Trebuie să dovedim că arcul AB SK mai cu arc (Fig. 315). Între arce AB și CS poate fi doar una din cele trei următoarele relații:
Dar AB arc nu poate fi mai mică decât IC a arcului, ca și în cazul în care într-o coardă linie dreaptă AB teoremă ar fi mai mică decât coardă IC, iar acest lucru contrazice ipoteza.
Arc AB nu poate fi egal cu arcul din Marea Britanie, deoarece atunci coarda AB egal cu coardă IC, dar este, de asemenea, o contradicție. Prin urmare, \ (\ breve> \ breve \).
Proprietatea de arce, încheiat între coardele paralele
Teorema. Arc încheiat între coardele paralele sunt egale.
Lăsați coarda AB este paralela cu CD-ul coardă (Fig. 316).
Trebuie să dovedim că \ (\ breve = \ breve \). Egal cu diametrul MN ⊥ AB. Din moment ce CD-ul || AB, MN ⊥ CD-ul.
Peregnom desen MN diametru, astfel încât partea din dreapta a coincis cu stânga.
Apoi, punctul B coincide cu punctul A, deoarece acestea sunt simetrice în raport cu axa MN (AB ⊥ MN de construcție și AK = KB).
In mod similar, punctul D coincide cu punctul C. De la \ (\ breve = \ breve \).
Proprietatea de arce, încheiat între tangenta și coarda paralelă
Teorema. Arc încheiat între tangenta și eyhordoy paralele egale.
Să coarda tangenta AB și CD sunt paralele. Punctul E - punctul tangență cu linia AB circumferința O (320 Fig.).
Trebuie să dovedim că \ (\ breve = \ breve \).
Pentru a dovedi punctul de tangență E conecta cu centrul cercului.
OE ⊥ AB, precum și un CD || AB, OE ⊥ CD-ul, și perpendicular pe coardă, realizat de centrul de același cerc, se împarte arcul subîntins în jumătate.
Prin urmare, \ (\ breve = \ breve \).