seria Fourier

Seria Fourier a funcțiilor periodice cu perioada 2π.

Seria Fourier permite studierea functiei periodice (non-periodice), descompunându-le în componente. Alternante curenți și tensiuni de deplasare, viteza și accelerare a mecanismelor pedaliere și undelor acustice - acestea sunt exemple tipice de aplicarea practică a funcțiilor periodice în calculele inginerești.

expansiune serie Fourier se bazează pe presupunerea că toate au valoarea practică a funcției în intervalul -π ≤x≤ π poate fi exprimat sub forma unei serii trigonometrice convergente (o serie considerată convergent dacă secvența sumelor parțiale, extrase din membrii săi):

Standard (= normal) de intrare prin sinx și suma cosx

În cazul în care variază de la -π la coeficienții tt ale seriei Fourier sunt calculate prin formula:

Coeficienții AO, o și bn se numesc coeficienții Fourier. și în cazul în care acestea pot fi găsite, atunci seria (1) se numește seria Fourier corespunzătoare funcției f (x). Pentru un număr de (1) un membru (a1 + cosx sinx b1) se numește primul sau fundamentală armonică,

O altă metodă de înregistrare a unui număr de - raportul de utilizare acosx + bsinx = csin (x + α)

Pentru un număr de (1) un membru (a1 cosx + sinx b1) sau păcat c1 (x + α1) se numește primul sau fundamental armonic, (a2 cos2x + sin2x b2) sau păcat c2 (2x + α2) este numit armonica a doua și așa mai departe.

Pentru o reprezentare corectă a semnalului compozit necesită de obicei un număr infinit de termeni. Cu toate acestea, în multe probleme practice, numai primii câțiva termeni este suficient să se ia în considerare.

Descompunerea funcțiilor neperiodice.

Dacă f funcția (x) este non-periodice, atunci acesta nu poate fi extins într-o serie Fourier pentru toate valorile lui x. Cu toate acestea, se poate determina seria Fourier reprezentând funcția în orice interval 2π lățime.

Dacă specificați o funcție periodică, puteți crea o nouă caracteristică, selectarea valorilor f (x) într-un anumit interval, iar repetarea lor în afara acestui interval, cu un interval de 2π. Având în vedere că noua funcție este periodică cu perioada 2π, acesta poate fi extins în serie Fourier pentru toate valorile lui x. De exemplu, funcția f (x) = x nu este periodică. Cu toate acestea, în cazul în care este necesar să se extindă în serie Fourier în intervalul de la aproximativ la 2tt, atunci acel interval este construit funcție periodică, cu o perioadă de 2π (așa cum este prezentat în Fig. Mai jos).

Pentru funcții neperiodice, cum ar fi f (x) = x, suma seriei Fourier este valoarea lui f (x) la toate punctele dintr-un interval predeterminat, dar nu este egal cu f (x) pentru puncte în afara intervalului. Pentru a găsi numărul de funcții neperiodice în gama Fourier 2π utilizate toate aceeași formulă exactă a coeficienților Fourier.

Numita funcție de y = f (x) este chiar. dacă f (-x) = f (x) pentru toate valorile lui x. Grafice de funcții, chiar sunt întotdeauna simetric față de axa y (adică, o imagine în oglindă). Două exemple de chiar funcții: y = x 2 și y = cosx.

A y funcție = f (x) este impar, dacă f (-x) = - f (x) pentru toate valorile lui x. Grafice funcții impare sunt întotdeauna simetrice cu privire la originea.

Multe funcții nu sunt nici măcar, nici ciudat.

Seria Fourier a funcției f chiar periodică (x), cu perioada 2π conține numai termeni cu cosinusului (adică nu conține membri sinusurile) și poate include un termen constant. Prin urmare,

în cazul în care coeficienții seriei Fourier,

Seria Fourier a unei funcții f impar periodică (x), cu perioada 2π conține numai termeni cu sinus (adică nu conține termeni cu cosinusului).

în cazul în care coeficienții seriei Fourier,

Dacă funcția este definită pentru intervalul, de exemplu, de la 0 la pi, și nu doar de la 0 la 2p, acesta poate fi extins într-o serie numai sinus sau cosinus Tolo. Rezultată serie Fourier se numește seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Dacă doriți să obțineți o descompunere Fourier pe jumătate de ciclu cosinus f (x) în intervalul de la 0 la π, este necesar să se facă o funcție chiar periodică. Fig. de mai jos arată funcția f (x) = x, bazat pe intervalul x = 0 până la x = π. Ca simetric chiar funcția în raport cu axa f (x), deținem linia AB, așa cum se arată în Fig. de mai jos. Presupunând că exteriorul formei triunghiulare obținută intervalul considerat este periodică cu perioada 2π, atunci graficul rezultat este un indicator care arată vedere. Fig. de mai jos. Din moment ce este nevoie pentru a descompune cosinusul Fourier, ca și mai înainte, vom calcula coeficienții Fourier AO și o

Dacă doriți să obțineți o descompunere Fourier pe jumătate de ciclu funcție sinus f (x) în intervalul de la 0 la π, este necesar să se facă o funcție periodică ciudat. Fig. de mai jos arată funcția f (x) = x, construit în intervalul de la x = 0 până la x = π. Deoarece funcția simetrică ciudat originea, a construi linia CD, așa cum se arată în Fig. Presupunând că exteriorul intervalului rezultat semnalul rampă considerat este periodică cu perioada 2π, lista finală este așa cum se arată în Fig. Deoarece este nevoie pentru a obține o expansiune Furie jumătate ciclu de sine, ca și mai înainte, vom calcula un coeficient Fourier. b

Extinderea unei funcții periodice cu o perioadă de L.

Funcția periodică f (x) se repetă cu creșterea x în L, adică, f (x + L) = f (x). Tranziția de la funcțiile discutate anterior cu funcții de perioadă 2π cu perioada L este destul de simplu, deoarece aceasta poate fi realizată prin înlocuirea variabilei.

Pentru a găsi seria Fourier a lui f (x) în intervalul -L / 2≤x≤L / 2, vom introduce o nouă variabilă u în așa fel încât funcția f (x) are o perioadă de 2π cu privire la u. Dacă u = 2πh / L, atunci x = -L / 2 pentru u = -π și x = L / 2 pentru u = π. De asemenea, să f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). Seriile Fourier F (u) este dată de

În cazul în care coeficienții seriei Fourier,

Cu toate acestea, de multe ori cu formula de mai sus conduce la dependența de x. Deoarece u = 2πh / L, medie, du = (2π / L) dx, precum și limitele de integrare - de L / 2 L / 2 în loc de - π la π. Ca urmare, seria Fourier pentru dependența x este dată de

în care, în intervalul de la L / 2 L / 2 coeficientii unei serii Fourier,

(Limitele de integrare poate fi înlocuită cu orice interval de lungime L, de exemplu, 0 la L)

Seria Fourier pentru jumătate de undă pentru funcțiile specificate în intervalul L ≠ 2π.

Pentru substituirea u = πh / L interval de la x = 0 până la x = L corespunde intervalului de la u = 0 până la u = π. Prin urmare, funcția poate fi extins în număr de numai cosinusul sau sinus numai, adică Seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Descompunerea cosinus în intervalul de la 0 la L este de forma