O colecție de probleme de algebra

Ecuații liniare și a inegalităților I

§ 15 Unele modalități de a dovedi inegalitățile

Dovedește inegalitatea, care conține unele dintre litere - este de a arăta că aceasta este îndeplinită de orice valori juridice sau specificate în mod special ale acestor scrisori.

Există diferite moduri de a dovedi inegalități. Exemplificam unele dintre aceste exemple specifice.

Exemplul 1. Dovedește că orice număr de un rezultat pozitiv și b satisfac inegalitatea

în cazul în care are loc egalitate dacă și numai dacă a = b.

Prima cale. Luați în considerare diferența

Acesta poate fi redus la forma:

Prin urmare. Și, de asemenea, înseamnă că.

Semnul de egalitate din ecuația (1) deține dacă și numai dacă √ a - √ b = 0, adică, atunci când a = b ..

Doilea mod. Să presupunem că această inegalitate este adevărată. Apoi, înmulțirea ambele părți cu 2, obținem:

Noi transporta 2 √ ab în partea stângă:

În cele din urmă, am rescrie inegalitatea obținută sub formă de

Ultima inegalitate este, evident, valabil pentru toate numere întregi pozitive și a și b. unde egalitatea în aceasta se realizează dacă și numai dacă a = b. Astfel, această inegalitate am redus la inegalitatea evidentă. Acum, producând toate argumentele în ordine inversă, vom dovedi această inegalitate.

Pentru orice, numere întregi pozitive a și b, avem:

Semnul egal în acest caz este dacă și numai dacă a = b. Transferarea - 2√ ab pe partea dreapta, obținem un + b> 2√ ab. în cazul în care.

A fost o dată greu de ghicit că dovada inegalității (1), este necesar să se pornească de la inegalitatea evidentă (2). De aceea, a trebuit să facem o pre-ipoteza că (1) este adevărată, și pentru a obține inegalitatea de aprobare (2).

Exemplul 2. Pentru a demonstra că dacă produsul de numere întregi x pozitive și y este 1, atunci (1 + x) (1 + y)> 4.

Dovada. Punerea în doar pentru a demonstra inegalitatea

In mod similar, se arată că 1 + y> 2√ y. Termenul de multiplicare pe termen lung a acestor randamente inegalități:

Dar starea xy = 1. Prin urmare,

Dovedește inegalitatea (№ 111-117):

118. Muștele de aeronave de la Moscova și Kiev este returnat. În ce vreme zborul se va realiza mai rapid: în condiții de vânt calm sau atunci când dintr-o forță constantă în direcția București - Kiev?

119. Să se arate că o jumătate de perimetru al triunghiului peste fiecare dintre laturile sale.

120 *. dovedesc inegalitatea

118. Mai repede, în vreme calma.